总统选举重新计票的探讨

这两天美国总统选举扣人心弦，在多个州都出现了两个候选人票数相当接近的情况。根据选举法律，当双方票差小于1%的时候，一方可以要求重新计票。在2000年小布什对戈尔的时候，在佛罗里达州就出现了这种情况。今年很有可能多个州都会票差小于1%，我估计双方都会要求重新计票。有鉴于此，让我们先用数学探讨一下重新计票究竟有没有用，翻盘的概率能有多少。

统计模型

为简化起见，我先排除第三方候选人的所得票数，毕竟本来也不多，就1%～2%。假定如下：

• 本州有N个选民，N/2选共和党候选人(R), N/2选民主党候选人(D)。
• 由于工作人员失误，每张选票都有小概率计错，把R计成D，或者把D计成R。
• 每张选票计错的概率分布为独立同分布，(IID)

假如我们把R选票当作0，D选票当作1，则那N/2个本来选R的选票将成二元随机分布，以1-p的概率为0，p的概率为1. 它们的和 (SumR) 也是一个随机分布. 由于样本足够多，根据 中心极限定理, 它将是一个正态分布，由两个统计特征决定：

• 数学期望: μ = N/2*((1-p)*0 + p * 1) = pN/2
• 方差：σ2 = N/2*((1-p)*p*p + p*(1-p)*(1-p)) = p(1-p)N/2

同理，N/2个本来选D的选票也成二元随机分布，它们的和 (SumD) 也是一个正态随机分布，

• 数学期望: μ = N/2*((1-p)*1 + p * 0) = (1-p)N/2
• 方差：σ2 = N/2*((1-p)*p*p + p*(1-p)*(1-p)) = p(1-p)N/2

那两个和的和当然也是正态随机分布：

• 数学期望: μ = (1-p)N/2 + pN/2 = N/2
• 方差：σ2 = p(1-p)N/2 + p(1-p)N/2 = p(1-p)N

所以说，虽然每张票有错误可能，但总和的数学期望仍然是N/2，和p无关。但是总和会有随机性，不一定是N/2了，上下会有所浮动，这个浮动和p紧密相关，p越大，浮动范围就越大。

假说验证

在数理统计中常用的分析方法是假说验证。你会有两种互补的假设：

• 原始假设(Null hypothesis), 即原来的普遍认知
• 新假设(Alternative hypothesis), 即你提出的新主张

这个分析方法是这样的：你先假定NH是对的，并用这为起点计算你的到的实验数据的概率。假如你得到的概率足够小，例如小于1%, 我们就可以推翻NH，从而证明AH。

我们以当前已经出的最接近的Wisconsin结果为例：

• Biden 得票1,630,541
• Trump 得票1,610,007

双方得票非常接近，只差20534票，占总票数(3,240,548)的千分之六，符合重新计票的前提。会不会由于工作人员失误，导致本来Trump赢得局面变成Biden赢的局面？好，让我们来验证一下。

• NH：D <= N/2
• AH: D > N/2

这即所谓单边假说验证。在单边假说验证的时候，我们选取对AH最有利的NH情况，就是D = N/2。延续以上模型，把R选票当作0，D选票当作1，所以说，Sum的的数学期望是N/2，即1,620,274, 但统计结果是1,630,541, 偏了10,267票。我们根据这个偏差认为Biden赢了，会不会有问题？计票可能有错误的，不是吗？

我们先假定计票错误概率为 p = 0.01, 即百分之一出错率。貌似有点合理。

现在我们计算方差。σ2 = p(1-p)N = 32081.4252, 所以：σ = sqrt(p(1-p)N) = 179

所以统计结果偏了 10267/179 = 57 倍σ，这在统计上是天文数字。单边概率无限接近于零，所以NH一定错，AH一定对，Biden虽然只赢了千分之六，但这在统计上已经是铁证如山！

会不会我们高估了Wisconsin工作人员的能力，他们其实出错率比1%高的多呢？好，我们姑且假定出错概率不是1%, 而是10%。这已经是草菅人命型出错概率了，应该算够放得开吧。

σ2 = p(1-p)N = 291649.32, 所以：σ = sqrt(p(1-p)N) = 540

所以统计结果偏了 10267/540 = 19 倍σ，这在统计上仍然是天文数字。单边概率无限接近于零，之前结论仍然成立。

2000年的Florida

我们翻出有史以来最接近的一次选举，就是2000年的Florida，Bush vs Gore。

• Bush得票2,912,790
• Gore得票2,912,253

双方仅差537票！代入以上公式：

N = 5825043, N/2 = 2912521.5 实际票数统计偏了 268.5

假定p = 0.1, 则：

σ = sqrt(p(1-p)N) = 724

偏的只有 0.37倍σ, 单边概率35.6%，我们当然无法排除Gore获胜的可能性。即使我们假定 p = 0.01, σ 还是有240. 偏差还是只有一个多σ，单边概率13.2%，不能排除。所以，2000年的Florida，Gore 真的有可能赢了。

注意，以上两个概率并非Gore赢的概率，而是假定Gore打平，获得当前如此偏差数据的条件概率。我们只能说Gore赢面还是小于50%, 但不能忽略。

回到当下

目前看来，Wisconsin未必是最接近的一个州。且看能否破掉2000年Florida的历史记录吧。从我的数学模型来看，至少Wisconsin是铁案。用通俗的话说，在百万级别选票统计中，对单个选票统计正确性的要求其实相当低。当然，以上模型假定两边出错概率一致，这未必是对的。只要有任何系统性偏差，也就是有舞弊现象，则所有结论作废。

本文仅使用了基础数理统计，理工类或经济类大学课程想必都有包括。但多年不用，大家可能都生疏了。